matematicas

DOCENTE:
Samuel Rodriguez Isaza

Función lineal

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Función lineal.

En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle b}$ son constantes reales y ${\displaystyle x}$ es una variable real. La constante ${\displaystyle m}$ determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante ${\displaystyle b}$ determina el punto de corte de la recta con el eje vertical ${\displaystyle y}$.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde ${\displaystyle b=0}$, de la forma:

${\displaystyle f(x)=mx}$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

también conocida como transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

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Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente ${\displaystyle x}$ es de la forma:

${\displaystyle y=mx+b}$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

${\displaystyle y=0,5x+2}$

en esta recta el parámetro ${\displaystyle m}$ es igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (corresponde al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos ${\displaystyle x}$en una unidad entonces ${\displaystyle y}$ aumenta en ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ unidad, el valor de ${\displaystyle b}$ es 2, luego la recta corta el eje ${\displaystyle y}$ en el punto ${\displaystyle y=2}$.

En la ecuación:

${\displaystyle y=-x+5}$

la pendiente de la recta es el parámetro ${\displaystyle m=-1}$, es decir, cuando el valor de ${\displaystyle x}$ aumenta en una unidad, el valor de ${\displaystyle y}$disminuye en una unidad; el corte con el eje ${\displaystyle y}$ es en ${\displaystyle y=5}$, dado que el valor de ${\displaystyle b=5}$.

En una recta el valor de ${\displaystyle m}$ corresponde al ángulo ${\displaystyle \theta }$ de inclinación de la recta con el eje de las ${\displaystyle x}$ a través de la expresión:

${\displaystyle m=\tan \theta }$.

Funciones lineales de diversas variables

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa un plano y una función

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$